Cantor ve Reel Sayılar Üzerine

Merhabalar,

Geçtiğimiz sayıda sayıları kategorize ettik, transcendental sayılardan bahsettik, son olarak da sonsuz elemanlı kümelerin eleman sayılarının karşılaştırılmasına baktık, “yahu bu daha mı bir sonsuz sanki?” sorusunu irdeledik. Önceki sayıya “çok uzun ve yorucu olmuş” yorumundan sonra, bu sayıda biraz daha hafif bir şey yapıp sadece geçen yazıda “üşenmezsem buraya eklerim” deyip, (well..) üşendiğim ve eklemediğim reel sayılarla ilgili olan kanıtı anlatıp bitireceğim. Asıl bu sayıda girmek istediğim konuların bir kısmına diğer sayıda gireceğim.

Geçtiğimiz sayıda pozitif tam sayılar kümesinin eleman sayısının (cardinality), bütün tam sayılar kümesinin eleman sayısına eşit olduğunu kanıtlamıştık. Şimdi de sizinle reel sayılarla ilgili olan şu ünlü kanıtı yapalım. Sevgili Cantor, zamanında (1891) bu kanıtı yaptığında ortalığı epey bir sallamış. Aslında ben de bu kanıtı ilk gördüğümde aynı, Church Numeral’ları üzerinde ’subtraction’ (çıkartma) fonksiyonunu tanımlayabilmemize olanak sağlayan Kleene’in  ‘Predecessor’ fonksiyonunu (sf 14) gördüğüm zamanki hissiyatı yaşadım. Bu kanıtın genel geçer ismi “Cantor’s diagonal argument” dir ama başka yerlerle başka başka isimler de almış (i.e. diagonal process) olmasına rağmen nerede görseniz tanırsınız, zira içinde illaki bir adet ‘diagonal’ geçer. Tabi gidip bunu utanmadan ikinci derece polinomların (aslında quadratic formların demek daha doğru) Gauss eliminasyonu ile diagonalleştirmesi (diagonalization of quadratic forms by Gauss elimination) ile karıştırırsanız, you gonna have your ass whopped my friend ( – :

Neyse biz konumuza girişelim, iddiamız şöyle; reel sayılar kümesinin eleman sayısı (cardinality’si yani) sayılamaz sonsuzluktur (non-enumerable infinity ya da uncountably infinite ya da çok acaip sonsuzluk). Bunu göstermek için önceki sayıda yaptığımız şeyin tam tersini göstermemiz yeterli olacak. Hatırlayın, bir kümenin sayılabilir olmasını, onun elemanlarını doğal sayılarla ilişkilendirebilmemiz ile; yani iki küme (bizim küme ve doğal sayılar) arasında bire-bir ve örten bir fonksiyon kurabilmemiz ile tanımlamıştık. (Tabi çok açıktır heralde ama yine de belirtmekte fayda var ki burda fonksiyonumuzun domain’i -Türkçesi ne bunun terim olarak? Alan değildir heralde- doğal sayılar, range’i -haydi buyur- bizim kümemiz olacak)

Geçen sayıdaki reel sayılar tanımımı hatırlayın:

hede,hedeuedhed şeklinde yazdığınız her sayı reel sayıdır.
0.1231241241231551…
0.100010011101011001…

Harika, o zaman şimdi gelin düşünelim: Ben proof by contradiction (reductio ad absurdum – çelişki ile kanıtlama) yöntemiyle mi ilerlesem? Örneğin desem ki reel sayılar sayılabilir bir sonsuzluktadır, dolayısıyla ben doğal sayılarla bu kümeyi eşleştirebilirim, eğer ki değilse bir yerlerde bir çelişki elde ederim zaten. Mantıklı duruyor, hadi bakalım deneyelim neymiş görelim:

Kolaylık olsun, binary (ikilik) sistemde çalışalım. Önce bir reel saayılarımızı masaya yatıralım. Eğer ki reel sayıları sayılabilir sonsuz kabul edersek, böylece bütün reel sayıların olduğu kümeyi sıralayabilirim değil mi? Buyrun bütün reel sayıların olduğu küme size:

0.100101…
0.001110…
0.010100…
0.101100…
0.010111…
0.110010…
…

Şimdi, elimizde bütün reel sayılar var, gelin bir tane de biz yazalım bakalım bu kümenin içinde çıkacak mı?

0.100101…
0.001110…
0.010100…
0.101100…
0.010111…
0.110010…
…

Şu işaretlediğim sayıları seçelim, gördüğünüz gibi n’inci satırın n’inci rakamını işaretledim.. (baştaki 0. lara takılmayın, biz sonsuz kısımla yani virgülün sağ tarafıyla ilgileniyoruz)

0.100110…

Şimdi bütün rakamları flip edelim (0′ları 1, 1′leri de 0 yapalım).

0.011001…

Sayımızı oluşturduk bile..

Bu sayı kesinlikle bir reel sayı, e öyleyse bizim kümemizin içerisinde olması gerekiyor değil mi? Çünkü en başta bütün reel sayıların olduğu kümeyi sıralamıştık zaten. Fakat siz de bir sıkıntı seziyor musunuz bu noktada? Bu reel sayı bizim “bütün reel sayılar” kümemizde olamaz! Bakalım neden (incoming!):

Kümedeki birinci sayı bizim sayımız olabilir mi? Hayır. Neden? Çünkü benim sayımın birinci rakamının, kümedeki birinci sayının birinci rakamıyla aynı olmayacağını biliyorum.

İkinci sayı? O da olamaz. Neden? Çünkü benim sayımın ikinci rakamının, kümedeki ikinci sayının ikinci rakamıyla aynı olmayacağını biliyorum.

Üç? Yok, çünkü benim sayımın üçüncü rakamının, kümedeki üçüncü sayının üçüncü rakamıyla aynı olmayacağını biliyorum.

E bir dakika, o zaman n’inci sayıda da olamaz! Neden? Çünkü n’inci sayının n’inci rakamının benim sayımın n’inci rakamıyla aynı olmayacağını biliyorum.

Kümedeki her sayı için, benim sayım olmadığını kanıtlayabilecek bir neden bulabiliyorum, bu nedenle;

bu sayı bu kümede olamaz! Dolayısıyla varsayımlarımdan (assumptions) birinde hata var deyip zaten bir tane olan varsayımıma bakıyorum ne diyor?  reel sayılar sayılabilir bir sonsuzluktadır. “Demek ki değilmiş hacı” deyip kantımızı sonlandırıyoruz.

Şahane düşünmüş değil mi sizce de Cantor? Hakikaten efsane bir kanıt bence, nedeni çok karmaşık ya da böyle hiç akla gelmeyecek bir şeyi gördüğü için değil. Kanıtların karakteristiğini de gösteren bir yapısı var. Kesin şimdi siz “ulan nereden nasıl gelecek aklımıza o rakamları seçmek” diyorsunuzdur. Ters mantıkta bir ilerleyelim mi bakalım ne çıkacak (harbiden doğaçlama yazıyorum şu an ( – : )

Reel sayıların sayılamaz sonsuzlukta olduğunu kanıtlamak lazım. Bunun için önce sayılabilir olduğunu kabul eder kümeyi sıralarız, eğer o kümede olmayacağını bildiğim bir sayı bulabilirsem “ahanda böyle tam sayılar gibi sıralayamazsın reel sayıları” diyebilirim. (Bu tam da “Lambda Calculus’u recognize* edecek bir FSA tanımlanamaz” ın kanıtına, aa hatta Pumping Lemma’nın da kanıtına benziyor) Tamam şimdi kümeyi sıraladık. Sayıyı nereden bulacağız? Ne olacak bu sayının özelliği? Bu elimde olan kümede olmayacak ama bir reel sayı olacak. Yani aslında bu sayının kendisi, bu kümedeki herhangi bir eleman ile aynı olmadığına dair bir kanıt içermek zorunda (<– İşte işi bitiren nokta burası tam olarak, yani nedeni sayının ta kendisinin taşıyacak olma zorunluluğu). Bundan sonra ikinci tümsek de “ee kanıt ne olacak peki?” sorusu. Onu da “(what if) benim sayım, bu kümedeki sayıların her birinden alınmış ufak parçalardan oluşursa, bir şekilde o parçayı bu kanıt haline getirebilir miyim?” sorusu ile çözersiniz.

Dikkat edin, matematiksel bir argüman kullanmadım kanıtın kendi içinde,ama olayın kendisi matematik. Dolayısıyla sizin de gördüğünüz üzere matematik aritmetik işlemlerden ve sayılardan çok mantık ve düşünceler bütünüdür. Geri kalanı araç ve gereçten ibaret.

Evet, yazının başında dediğim gibi yazımın uzunluğu ve ağırlığı üzerinde kötü eleştiriler geldiği için, bu yazıda biraz dikkat etmek istedim, o yüzden şimdilik burada bitiriyorum.

Kendinize iyi bakınız efendim, hoşçakalınız.

Caner

Önümüzdeki sayıda:

Yukarıda anlattığım kanıtın aşağıdakilerle olan ilişkisini okuyacaksınız.

Halting Problem*

Gödel’s Incompleteness Theory*

* böyle önemli şeyleri bilgisayar bilimleri profesörü olmadan önce Türkçeleştirmeyi reddediyorum (by the suggestion of Elena Battini Sönmez, November 2008)

The Irrational and the Transcendental*

Bekledik, sabrettik, düşündük, okuduk ve sonra yazmaya başladık. Sanıyorum ki uzun zamandır yazmak istediğim türden bir yazı olacak bu sayıda okuyacaklarınız.

 

Herkese merhaba, girişi hiç uzatmadan sayılara bir göz atalım ve konumuza girelim.

 

Köşedeki Sancak Market’in laz bakkalına gidip sordum geçen, “Abi beni biliyosun araştırmalar falan yapıyorum, ciddiye alacaksan şimdi sana bir soru soracağım.” dedim, “Tabi” dedi sor. Ben de sordum: “Nasıl sayıyorsun? Yani saymak nedir senin için, bu sayılar falan.”. Adamcağızın tabi beklemediği bir soruydu bu ve bir cevap verdi ki kendime geldiğimde bunu bir daha yapmayacağıma dair kendime söz verdim. Fakat anladım ki bu sayma işi, tamamiyle içsel hani güdülerimizden gelen (intuitive işte) bir şeymiş. Baksanıza bir, evrende sayılacak ne kadar çok şey var.

 

İşte bu laz bakkalın bahsettiği sayılar hepimizin bildiği sayma sayıları (a.k.a. Counting numbers, natural numbers, cardinal numbers …), 1, 2, 3, 4, 5, … şeklinde gider bu. Sıfırın akıbetine çoğu zaman acıyorum çünkü bazı matematikçiler onu doğal sayılara alırken bazıları da yok sayıyor, o kulvarda ne döndüğünü ben de pek bilmiyorum. Sıfırın diğer tarafını biliyorsunuz zaten. İşte hepsine birden (pozitif-negatif-sıfır) direkt tam sayı (integer) demek hayli kolaylık sağlıyor, rahat rahat kullanıyoruz.

 

Bir diğer tarafta rasyoneller var. Bir şeyin başka bir şeye oranı şeklinde ifade edebildiğimiz sayılara biz rasyonel sayılar diyoruz. Ondalık gösterim mevzularını da biliyorsunuz zaten, sadece hatırlamanız gereken bir şey var ki o da ondalık gösterimde virgülden sonra sonlu sayıda basamağı olan HER sayı rasyoneldir, çünkü basitçe a/b şeklinde ifade edilebilirler. Mesela işte 3/5, ya da ondalık ifade ile 0.6.

 

Bir de şu tekrarlı ondalık sayılar vardı değil mi? Üzerinde böyle çizgi olurdu. Sonra onu böyle oran şeklinde göstermek için bize “sayının ucundaki rakamın 12312 ile bölümünden kalanı kadar dokuz, atom çapının kare kökü kadar da sıfır koy” şeklinde bir yöntem ezberletmişlerdi değil mi? Biz de paşa paşa ezberlemiştik tabi ne yapacaksın ki. Bakın o aslında nereden geliyor.

 

Diyelim ki sayımız 0.1234123412341234…

 

Ben diyorum ki “bu sayı rasyoneldir kardeşim”, laz bakkal da diyor ki bana “o zaman a/b şeklunde ifade edebilmemiz gereçii, et bakayum”, buyrunuz:

 

a = 0.1234123412341234… olsun. Eşitliğin iki tarafını 10000 ile çarpalım -sağ taraftaki virgülü kaydırmaya çalışıyorum.

 

10000a = 1234.1234123412341234…

 

Şimdi de her iki taraftan çıkart bir adet “a”.

 

10000a – a = 1234.1234123412341234… – 0.1234123412341234…

9999a = 1234 —-> a = 1234/9999

 

Al buyur deyip bitiriyorum.. Demek ki 0.1234123412341234… bir rasyonelmiş.

 

Şimdi bazılarınız söyleyecek, “e bir de irrasyonel vardı o nedir peki” diye, buyrun izah edelim. Şöyle ki, öyle sayılar vardır ki bir şeyin bir şeye oranı olarak gösteremezsin, işte onlara biz irrasyonel diyoruz. (:D:D bayılıyorum şöyle tanım yapmaya. Bir çoklarınızın, iyi de ne işe yarıyor, ne yapıyor, nasıl bir şey dediğini duyar gibiyim. İşte tam bu noktada matematiğin “declerative knowledge”ı ile bilgisayar bilimlerinin “imperative knowledge”ı arasındaki farkı görebiliyoruz.)

 

Aslında göründüğü kadar karmaşık değil irrasyoneller. İlk aklınıza gelmesi gereken şey dik kenarı 1 olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü. Nedir? √2. Bu bir irrasyoneldir. Neden mi?

 

————————————————————————————————————————

Al sana kanıtı:

Diyelimki rasyonel. O zaman ben √2 yi a/b şeklinde ifade edebiliyorum demektir. Harika.

Rasyonel sayıların pek sevdiğimiz bir özelliğini -pay ve paydada yapılan ortak işlemlerin sayının kendisini etkilemeyeceği özelliğini- kullanarak, a/b sayımızın pay ve paydasını, ikisinden biri tek sayı olana dek 2′ye bölüyorum. Dolayısıyla artık elimde olan a/b sayısının pay ve paydasının ikisinin birden çift olmayacağını biliyorum.

Devam. Biraz oynayalım şu eşitlik ile.

√2 = a/b

a = √2 . b

a² = 2 b² Hmmmm… demekki bizim ‘a’ çiftmiş. O zaman ‘b’ kesinlikle çift olamaz.

E ‘a’ çift ise eğer, ben onu a = 2c şeklinde gösterebilirim değil mi?  Alalım karesini ve yukarıdaki eşitliğe yerleştirelim.

2 b² = 4 c² yani,

b² = 2 c²

Aaaaaa!! ‘b’ de çift çıktı, bu işte bir terslik olmalı.

Derken tersliği görüveriyoruz ki √2,  a/b şeklinde iki sayının oranı biçiminde gösterilemez. Dolayısıyla da rasyonel değildir, irrasyoneldir.

————————————————————————————————————————

 

İrrasyonelleri görmenin diğer bir yolu da ondalık ifade biçimleridir. Herhangi bir ondalık sayıya baktığınız zaman, virgülden sonraki sayılar sonsuza doğru uzanıyorsa ve hiç tekrar etmiyorsa, bu sayı irrasyoneldir, panik yapmayınız. Örneğin yukarıda bahsettiğim √2 sayısını ben ondalık bir şekilde ifade etmek isteseydim, sonsuz elemanlı tekrar etmeyen bir sıralamaya ihtiyacım olacaktı. (Diğer bir örnek de pi sayısıdır mesela.)

 

Bu rasyoneller ve irrasyonellerin hikayeleri çok enteresan gerçekten. Rasyonellerin ilk çıkışını ben şöyle biliyorum. MÖ 532′de Pisagor, Polikrates’ten kaçmak için İtalya’nın güneyine, Kroton’a kaçar. Sonra bir süre Doğu’da, Mısırlılar’ın yanında takılır, ki orada onların efsanevi bilgileriyle karşılaşacaktır. Sonra kendisi, bütün düşüncelerinin temeli olan düzen kavramına yoğunlaşır ve “müziksel düzen, matematiksel düzen ve sonunda etnik ve toplumsal düzen” şeklindeki fikrini geliştirir. Ardından, titreşen tellerin görece uzunluklarına karşılık gelen müzik skalalarının aralıklarını ve bunun oranlarını (1:2, 2:3 ve 3:4) keşfeder. Böylece görelilik ışıklarıyla birlikte rasyonel sayıların temeli atılmış olur.

 

Irrasyoneller biraz daha komik. Eski adları “surd” imiş, ki kelime “absurd” den gelmekte ( – : Efsaneye göre (ki ben baya baya yalan olduğunu düşünüyorum), MÖ 6. yüzyıl civarlarında Pisagor’un öğrencilerinden biri olan Hippasus, ikinin karekökünün rasyonel olmadığını kanıtlayınca, bu durum o zamanın mantıksal ve rasyonel (ve hıyar) Yunanlılar’ına o kadar rahatsız edici gelmiş ki, Pisagor ile birlikte diğer öğrencileri, durumu kurtarmak için sevgili Hippasus’u Akdeniz’e “bandırmak” durumunda kalmışlar, rezil olmuş koskoca bilim adamları ( – :

 

Neyse. Bizim şu ana kadar anlattığımız sayılar bildiğiniz gibi hep bir “algebraic” denklemin sonuçları olan sayılar, örneğin √2

 

x² – 2 = 0

 

denkleminin köklerinden biri (diğeri de -√2 ***). Algebraic (cebirsel demeyeceğim!) denklemleri biliyorsunuz zaten. Sıfıra eşit olan ve sadece tek bir bilinmeyeni olan denklemlerdir, ve gerçek hayatta bir sürü problemi modelleyebildiğinden dolayı olsa gerek, bir anda ünlenivermişlerdir.

Gelin bir de

 

x² + 5 = 0

 

denklemine bir göz atalım. Bir sıkıntı seziyor musunuz?

Bir sayıyı kendisiyle çarptığımızda pozitif bir değer elde ederiz, dolayısıyla ona başka bir pozitif değeri eklediğimizde de sıfırdan uzaklaşırız, ona yaklaşmayız. İşte böyle sayılara da “imaginary” (farazi diye çevireyim de görün:D) sayılar denir. Hani o “i” vardır ya, işte o  √-1′e atanmışdır, öyle gelmiş öyle gider. Farazi sayılar isimden dolayı pek farazi dursalar da gerçek hayatta ciddi problemlerde bize yardım ederler ve çok çok önemli bir yer tutarlar sayılar dünyasında.

 

Bir de reel sayılar vardır değil mi? İşte reel sayılar, bu rasyonel ve irrasyonel kümelerini kapsayan efsane büyüklükte bir kümedir. Reel sayılara (real numbers) “continuum” da denir. Çünkü o küçüklüğümüzde “sayı doğrusu” dedikleri şeyi birebir kendileri oluşturabilirler. O kadar kalabalıktırki bu küme, herhangi bir a ve b reel sayısını aldığınızda, ikisi arasında illaki – örneğin (a+b)/2 – bir sayı bulabiliriz. Tam sayılardan böyle bir doğru oluşturamayız tabiki, ama reel sayılarla bu mümkün. “Nedir bu reel sayılar peki kardeşim, kıvırma da söyle hadi?” derseniz,

 

hede,hedeuedhed şeklinde yazdığınız her sayı reel sayıdır.

0.1231241241231551…

0.100010011101011001…

 

Daha da önemlisi, o yukarıda bahsettiğim farazi sayılardan herhangi birisini içermeyen BÜTÜÜÜN sayılar reeldir kardeşim.

————————————————————————————————————————

 

Bence burada 10dk ara verin, kahvenizi yenileyip öyle devam edin. Devamında transcendental sayılara girişeceğiz, kafalar karışmasın.

 

————————————————————————————————————————

 

Evet, şu an sayıların kategorizasyonunda iki ayrı yola birden girdik. Bir tarafta algebraic sayıları tanımladık ki içerisinde tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar var. Diğer yandan reel sayıları da, negatif sayıların köklerini içermeyen her sayı olarak tanımladık. Şimdi işte, çok enteresan bir soru çıkıyor karşımıza:

 

Acaba bütün reel sayılar aynı zamanda algebraic birer sayı mıdır, yoksa hiçbir algebraic denklemin kökü olmayan bir reel sayı bulabilir miyiz?

İşte 1740 senesinde Euler çıkmış ve demiş ki algebraic olmayan sayılar vardır. Bunlara da “transcendental” sayılar demiş. Çünkü “transcend”, İngilizcede aşmak demektir ve bu bahsi geçen sayılar da açıkça algebraic sayıları aşan bir karakterdedirler. Tabi böyle bir sayının varlığının kanıtlanması hayli zor olduğu için, bu durum 19.yy ortalarına kadar spekülatif bir halde kalmış. 1844 yılında Joseph Liouville, en sonunda algebraic olmayan bir sayı türetmeyi becermiş, buyrun bu da sayımızın ilk 30 ondalık basamağı:

 

0.110001000000000000000001000000…

 

1 lerin yerleri ile alakalı bir şey çarpıyor mu gözünüze?? Sanki bir faktoriyel söz konusu değil mi.. 1 lerin pozisyonları 1-2-6-24-120… şeklinde gidiyor. Belli ki Liouville, hiçbir algebraic denklemin kökü olmadığını kanıtlamak için özel olarak tasarlamış bu sayıyı, ki kanıtının ana fikrini de sıfır olmayan sayıların gitgide artan kıtlığı oluşturuyormuş.

 

Sonra 1882′de Alman matematikçi Lindemann da tüm zamanların en ünlü irrasyoneli olan pi sayısının aynı zamanda transcendental bir sayı olduğunu kanıtlamış.

 

 

Bunun kanıtına falan girip de konuyu daha da dallandırmaktansa bence sonlara doğru daha enteresan bir yere gidelim sizinle.

 

Şimdi, baştan beri sayılar üzerine güzel güzel konuşuyoruz işte tam sayılar var, pozitifleri negatifleri ile birlikte, sonra rasyoneller var, reeller var. Tanımladığımız bu güzel sayılara baktığımız zaman, örneğin tam sayılarla ilgili bir diagram çizecek olsaydım nasıl çizerdim?

 

negatif tam sayılar + pozitif tam sayılar

—————-tam sayılar——————

 

değil mi?  Fakat bunu ben çiziyor olsaydım, altına illaki “çizime aldanmayın” şeklinde bir not koyardım, neden sizce?

 

Biliyoruzki bu pozitifler, negatifler, komple tam sayılar vs. hepsi birer küme ve eleman sayıları (cardinality) da sonsuz. Peki acaba sonsuzlukla ilgili ne düşünüyoruz? “Daha fazla sonsuz” ya da “daha az sonsuz” gibi bir kavram var mı? Ya da hadi hepsini geçtim size bir soru: “Negatif tam sayılar kümesinin eleman sayısı ile bütün tam sayıların kümesinin eleman sayısını karşılaştırsam hangisi daha büyük gelirdi?”

 

Şimdi hissi kabl-el vuku ile doğal olarak “tabi ki bütün tam sayıların olduğu kümenin eleman sayısı, sadece negatiflerin olduğu kümeden daha büyük olacaktır” deriz. Bunu düşünmemiz çok çok çok doğal, çünkü geçen hafta Cem Say hocamın dediği gibi beynimizdeki nöronlardan tutun da etrafımızda gördüğümüz, yaşadığımız dünyaya dahil her şey sonludur. Dolayısıyla sonsuzlukla ilgili fikirlerimiz, matematiksel sonsuzlukla kesinlikle örtüşmez, örtüşmeyecektir. Fakat 19.yy sonları civarlarında Georg Cantor’un** düşünceleri, matematiksel sonsuzlukla örtüşmüş ve güzel güzel kanıtlar ortaya sunarak, işin aslında bizim hislerimizle yürümediğini göstermiş.

 

Yukarıdaki soruya geri dönersek, hangisinin eleman sayısı daha fazla çıkar? Bence eşit çıkar. Neden mi? Kanıtlayalım bakalım:

 

————————————————————————————————————————

 

Şimdi ilk başta şu kümelere bir bakalım. Kümeler hakkında size genel bir bilgi vermeyeceğim, zira hepsi gayet kolay ve muhtemelen bildiğiniz şeyler.

 

Bildiğiniz gibi fonksiyonlar iki küme arasındaki bağıntıyı tanımlar. Yanyana iki çember çizip de içine elemanlar koyup soldakinden sağdakine götürülmüş oklar görürsünüz ya, işte o fonksiyondur.

 

“One-to-one” ve “onto” fonksiyonları hatırlıyorsunuz değil mi? Ne diyorduk biz onlara, bire-bir ve örten fonksiyonlar .. Bire-bir demek, fonksiyonun girdisini aldığı kümedeki her eleman için sonuç kümesinde bir eleman var demek; örten ise sonuç kümesindeki her eleman için girdi kümesinde bir eleman olması demek değil mi?

 

Şimdi düşünün ki iki tane küme var elimde, sonlu sayıda elemanları var. Ben bu iki küme arasında bire-bir ve örten olan bir fonksiyon tanımalayabilirsem ne diyebilirim bu iki kümeyle alakalı? Eleman sayıları eşittir değil mi? Aynı şeyin tersi de doğru olur tabi ki, yani eleman sayıları eşit herhangi iki küme arasında bire-bir ve örten bir fonksiyon tanımlayabilirim.

 

Peki bu iş sonsuz elemanlı kümelerde nasıl olur acaba? Bir elimize pozitif tam sayıları, diğerine de komple tam sayıları alalım:

 

{1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,…….}

{1, -1 , 2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4 ,…….}+

 

 

+ {…..,-1,0,1,….} şeklinde yazmak istemedim diyelim.

 

Bir pattern görüyor musunuz? Daha güzel ifade edersem, bir fonksiyon tanımlayabilir miyim ben, öyle ki üstteki kümeden bir eleman alacak ve alttaki bir elemana götürecek bizi? Sanırım tanımlayabiliyorum değil mi?

 

Her n doğal sayısı için:

 

-n/2 if n/2=0 (mod n)

n/2 o/w

 

Evet, bu fonksiyona 5 verdiğim zaman hakikaten 3 veriyor, 8 verdiğimde de -4 veriyor değil mi? Fonksiyonun tanımı gereği, hem örten hem de bire-bir oldu bile.

 

Dolayısıyla pozitif tam sayılar ve komple bütün tam sayılar kümesinin eleman sayıları eşit olmak zorundadır.

 

————————————————————————————————————————

 

 

Hala okumaya devam edebiliyorsanız, merak etmeyin çıkışı çok uzatmayacağım. Eğer ki üşenmezsem, reel sayılarla ilgili bir kanıt daha ekleyeceğim buraya. Olmadı diğer sayıda hallederiz değil mi sevgili gönül dostları ( – :

 

Kendinize iyi bakınız, hoşçakalınız.

 

Caner

 

 

* Charles Petzold, The Annotated Turing Chapter2 işlenmiştir, oradan çok daha detaylı bir şekilde öğrenebilirsiniz.

**http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Printonly/Cantor.html

*** Meşhur salaklıklarımdan birini düzelttiği için sevgili arkadaşım Talar Uyar’a teşekkür ederim, selamlar ederim ( – :

 

Coming Soon: “The Irrational and the Transcendental”

Selamlar, merhabalar herkese tekrardan..

Geçenlerde (bu sefer hakikaten) ancak başlayabildiğim, Charles Petzold’un “The Annotated Turing” kitabının ikinci kısmının ismidir bu sayımızın başlığı.. Bu sayılar hakkında bildiklerimin üzerine bir de kitaptan edindiğim efsanevi tarihsel bilgi ile, sizlere şahane bir yazı sunmak niyetindeyim..

Fakat pek de şaşırtıcı olmamakla birlikte, yine pek bir garip yoğunluktan dolayı, tam istediğim gibi kapsamlı bir yazı olmadı ne yazık ki. Dolayısıyla bu sayı için sizlerden bir ya da iki gün daha mühlet rica edeceğim.

Sabrınızı karşılıksız bırakmamam ümidim ile..

Sevgiler, saygılar..

Caner

Mimarlığın Zelhindeki Metaforik Adım

Merhabalar,

Bu sayıda şu geçenlerde başlattığım “Church Numerals” konusuna devam etmek istiyordum ama tez ve finallerle boğuşmaktan(!) sanıyorum ki mevzuyu biraz savsaklayınca yazacaklarımı planlayamadım, dolayısıyla da o konuya bir sonraki sayıda devam edeceğim. Bu sayıda ise sizlere, geçen haftaların birinde yapmaya başladığım enteresan bir aktiviteden bahsedeceğim. Hem genelde bahsettiğim konulardan, hem de köşeden alakasız olarak sohbet edesim var sizlerle, ayrıca da finallerinizin ortasında işinize yarayabilir diye düşünmeden edemiyorum, hop oturup hop kalkıyorum; arada bir düşünüp telaş ediyorum..

Şimdi efendim durum şudur.

Kim olursanız olun, ne yaparsanız yapın, hayatınızda illaki en az bir kere kenarlara bir şeyler karalama; bazen (figür ya da resim) çizme, bazen (öykü, şiir vb.) yazma, bazen (şarkı) söyleme ya da yazma ve benzeri aktivitelere ihtiyaç duymuş, büyük ihtimalle hemencecik yapıp, rahatlamışsınızdır. Bu, motivasyonunuzu dengelemenizin ve koşuşturmaca içinde tatmin edemediğiniz güdülerinizi kusmanızın inanılmaz etkin bir yolu olup, fonksiyonalite bölü cep yakması oranının deliler gibi yüksek olduğu amatör bir meditasyon çeşididir. Tarihteki uygulamalarına bakacak olursak, rönesa…….

—————————————————————————————————-

Diye devam edecek saçma bir yazıya yelken açtık değil mi, evet evet… (..swuchhh)

Yazılardaki şu giriş-gelişme-sonuç mevzusundan siz de sıkılmadınız mı hala?? Artık daha yaratıcı şeyler bulunmalı bence, “Essay writing with Benjamin Button style” nasıl olurdu acaba, deneyeyim başka bir sayıda, şimdi kafam basmayacak onun kurgusuna ( – :

—————————————————————————————————-

Neyse, ben basitçe şunu yapıyorum: Alıyorum elime kağıt kalemi, ne gelirse çiziyorum.. Zaten çizme özürlü bir insan olduğumdan öyle objedir, mekandır falan çizemiyorum tabi ki.. Hatta ben bir figür çizerim, ben onun köpek olduğunu düşünürken insanlar ödül verirler bana “ne kadar yaratıcı, yalnızlığımı tattım bu eserde” şeklindeki saçma yorumlarla promosyonlu..

Ne gelirse çiziyorum, hangi çizgi nerden başlayıp nerede bitmek isterse çiziyorum.. Sonra da bitirip olduğu gibi çöpe atıyorum..

—————————————————————————————————-

Arada bir böyle olmadık fikirlerle ortaya çıkan salaklarla karşılaşıyorum. Bir de kalkıp marjinal diyorlar böyle fikirlere ya da kişilere.. “Ulan eşşek herif, bundan adam olsa böyle salak fikir çıkmaz, bundan fikir olsa birileri düşünmüş olur, bu sefer marjinal hale gelmez.” diyesim geliyor duyduklarım karşısında..

Bazıları da saçma metaforları ciddi söyleyip sonra “bak dur ama arkasından ne gelecek, nereye bağlayacağım bunu ama bak bak” gibi bir ifade ile deli eder beni, ki özellikle şiirlerde karşıma çıkar bu, zira şiirleri metaforik sidik yarışı olarak görmemden kelli, ne zaman “masamın üzerindeki sigara külünün köşesi gibisin” diye bir şeyi okuduğumda kafamdan –salak saçma sana bilmemkimin selamı var şekli espriler misali- “öff niye peki hadi söyle neymiş” dediğimde tam da bu tür insanlarla karşılaştığımda yaşadığım hissiyatı yaşarım.

Gerçi benim yazılarımın başlıklarında da var bak o trip. “Kağıttan Ters Teleskop Yapma Teknikleri” örneğin.. Sizce de ukala değil mi biraz.. Bunun akademik çalışmalar ve sonucundaki makaleler (paper) çevresinde yapılmış bir özeleştiri yazısı olacağını kesinlikle belli etmemekle birlikte, araya bir de  (ben de bölümün bir öğrencisi olduğumdan, bölümü çok – belki fazla bile – yakından gördüğüm için) teleskop metaforunu sıkıştırmam, beni tam bir şair yapar mı dersiniz?? ( – :

Şimdi sizin de kafanızdaki “çizdiklerini niye atıyosun çöpe, salak mısın?” şeklindeki soruyu duyar gibiyim..

“bak ama bak nereye bağlıcam bak”  ( – :

—————————————————————————————————-

Şansa, tesadüfe inanmayan ve bu ikisiyle “non-determinism”i karıştırmayan biri olarak çizdiğim şeylerin o anki duygularımın, düşüncelerimin ve ruh halimin bire-bir yansıması olduğunu düşünürüm hep. Fakat bunun için belli şartlar vardır. Ana fikir, onu atacağını, yani yaptığın şeyin yok olduğunu bilmenin, seni onu yapmaya ya da yaptığın zamana odaklaması. Normalde ne olur, bir şey yazarken ya da çizerken o yaptığın şeyin gelmişini-geçmişini, ötesini-berisini düşünürsün. Örneğin kafandan o yaptığın şeyi bir gün başka birinin okuyacağını-dinleyeceğini (ya da her neyse) düşünüp “ulan dur bir de şuna dışarıdan bir göz ile bakayım” dersin, orasıyla burasıyla oynarsın..

İşte ben o çizdiğim şeyi çöpe atmakla tüm bunlardan kurtuluyorum. Yani o yazdığım ya da çizdiğim şeyi –ben dahil- kimse görmeyecek, kimse bilmeyecek şeklinde bir rahatlığım olduğu için, sadece onu çizmeye odaklanıp, o anı yaşamanın tadına varabiliyorum, dolayısıyla da duygularımı ya da düşüncelerimi tamamiyle oraya aktarabiliyorum. Sonra onu lönk diye çöpe attığımda, tamamiyle rahatlamış ve huzurlu hissedebiliyorum.

Tabi aslında bazı insanlar (örneğin mimarlar) için can sıkıcı bir dilemma bu. Çünkü bir yandan çizdikleri şeye kendilerini tam olarak vermek zorundalar ki yaratıcılıklarının suyunu son damlasına kadar sıksınlar, bir yandan da birilerinin onların çizdiği şeyleri görecek olması onlar için kaçınılmaz bir gerçek. Bu nedenle, teorik olarak o eseri ortaya çıkartırken, maksimum odağı yakalayamayacakları için, kendilerindeki maksimum potansiyeli hiçbir zaman kullanamayacaklar.. Enteresan hakikaten…

Daha da enteresanı, bu durum, tüm insanlarla alakalı sakıncalı ve ciddi bir ironi olarak görülme gafletine çok müsayit. O sakıncalı kişilerden – mesela o sapkın metaforculardan – biri çıkıp da “aslında hepimiz bir gün öleceğimizi biliyoruz, ama hayatı yaşamaya odaklanmış değiliz, dolu dolu yaşamıyoruz” dediği zaman, çok üzücü bir şekilde bu laf, bir sürü salağın işi gücü bırakıp durduk yere çayır çimen otlamasına neden oluyor. Fakat farkında değiller ki hiçbirimiz aslında öleceğimizi “bilmiyoruz”. Oradaki bilmek dediğin şey çok tartışılır bir durum, zira konduramama gibi bir açığı var. O Cem Yılmazın “ben ne ölecem lan” lafını harbiden düşünüyorsun bilinç altında (ben arada bir bilinç altınıza bakıyorum orda gördüm). Sen ancak her gün (ya da işte sıklıkla) gördüğün birini ölü halde gördüğün zaman ancak orada kullanılan bilmek kavramına erişebiliyorsun. Bu bir anda farkındalık yaratıyor ve önündeki bir hafta boyunca durduk yere “yahu ne boş işlerle uğraşıyoruz, okulmuş, işmiş falan, ölüp gideceğiz” diyorsun. İşte, paragrafın en başında bahsettiğim over-dose salaklıkla bu son söylediğim neredeyse eş değer bir sarhoşluk bence. Çünkü okulun ya da işin boş olduğu yok, o da hayatımızın, daha doğrusu yaşamımızın bir parçası (hayatımızın parçası deyince sanki zaman belirtirmişim gibi hissettim o yüzden). Fakat bir anda alışık olmadığın dozda gerçeklik yüzüne vurunca bünyede bir cırlamaya neden oluyor tabi, saçmalıyorsun.

Sen ne olduğunu düşünme, ne yaptığını düşünme, sadece yap. Al eline kağıdı kalemi, çizgilerin nereye gidip nereden geldikleri önemli değil, çiz sadece.. Düşünme birileri bunu görecek, ne düşünecek diye. Kendine günlük yazsan bile, “yıllar sonra ne düşüneceğim acaba bunu okuyunca” diye düşünüp, bu düşünceyle yıllar sonra görmek üzre değiştirdiği şeyleri de aynı yaşta düşündüğünü unutan salaklardan olma (ben oldum ordan biliyorum). Mimarsan biraz sıkıntılı evet, ama bahsettiğim şey zaten işle güçle alakalı bir şey değil, işinizle alakalı kim bilir ne teknikleriniz vardır yaratıcılığı, performansı artırmak vs. için.

Acaba sizler böyle şeyler yapıyor musunuz?? Ne bileyim “amuda kalkıp para sayıyorum, çok acaip oluyor” diyeniniz var mı? Hakikaten merak ediyorum cevabını, “acaba benim gibi dünyanın en aptal sorularını soran birileri daha var mıdır?”. (oha efsane totoloji oldu, zira bu sorunun kendisini de çok aptalca bulurum, ne yapacaksın ki varsa, “oleey!!”, “iyi ki varsınız vallahi, ben de kendimi tek salak sanıyodum..” )

Evet sevgili gönül dostları, bu sayıda çiz-çöp yöntemiyle (oha ismin salaklığı çok hoşuma gitti ( – : ) duygulamızı ve düşüncelerimizi; masa üzeri, sehpa kenarı, tepsi ya da bilimum sert bir yüzeye nasıl kolayca ve rahatlıkla (tautology #2) kusabileceğimizi gördük, üstelik yöntemin kullan at metaforik yapısı sayesinde, sonrasında tek bir zerre bile temizleme gerektirmeden! Bu ürünümüzü her yetkili……..

—————————————————————————————————-

O anlata dursun, ben ara ses olarak – çok sevdim bu ara ses işini – yazıyı sonlandırayım. Hepinize iyi geceler, başarılı finaller..

Görüşmek dileğiyle..

—————————————————————————————————-

Caner Derici

Özür

Yazarımız çok hasta olduğu için bu sayıdaki yazısını yayınlayamıyoruz.

Özür dileriz.

Arda Eren

Church Numerals*

Merhaba sevgili gönül dostları ( – :

 

Uzun süreli bir ayrılıktan sonra tekrar birlikteyiz. Dönemin sonuna doğru yaklaşırken, gelen kışın da etkisiyle daha fazla odalara kapandık; kitaplara, bilgisayarlara gömüldük yine.

 

Babamın matematik üzerine en önemli tavsiyelerinden biri, “Sayılar üzerine çok fazla düşünmekten kaçın. Tarihte her kim sayıların kendileri üzerine çok fazla düşündüyse, kafayı yemiştir. Sen sadece neden var olduklarını bil, yeter.” idi. Geçenlerde kendisiyle bu konuşmayı tekrarladığımız bir vakitte, tam da Annermarie Schimmel’in “Sayıların Gizemi” adlı kitabını çok da sevmeyip ortasında bırakmıştım. Konuşmamızdan sonra Comp 314 – Principles of Programming Languages dersinin Lambda Calculus kısmında gördüğümüz Church Numerals (Encoding) konusu geldi aklıma.

 

Sizlere bu yazıda biraz ondan, biraz bundan; derken yüzeysel bir şekilde sayılardan bahsedeceğim. Bilgisayar bilimlerinin şu an aklıma gelen iki tane temelinden (Logic – Computation) biri olan hesaplama (computation) saymayı gerektirdiğinden, bu mevzunun ilgi çekeceğini düşünüyorum.

 

Sayılar ve sayma, mekan ve zamanda varoluşun soyut modeli ve sıralanmasıdır. Bildiklerimle yapabileceğim en genel tanım bu olabilir herhalde. Geçmişte insanlar el-kol-parmak gibi uzuvlarıyla saymayı ifade etmişler, hatta utanmayıp bunun üzerinden sayı sistemleri bile geliştirmişler. Roma rakamları örneğin direkt parmak hareketlerini modeller. Sonra şu an hatırlayamıyorum kim kullanıyor ama 4lük sayı sistemi de başparmağın gözardı edilmesinden gelmiştir. Daha da güncel olarak, el parmaklarına ayak parmaklarını da ekleyip 20li sayı sistemini geliştirmişler, ki uzunca bir süre bu kullanılmış, Fransızlar hala 80′e 4×20 gibi bir şey diyor örneğin. Tabi bunlar modern ve biraz da naif bulduğum yaklaşımlar. Bir de açıp Babilli amcalara bakarsak çok can sıkıcı şeylerle karşılaşıyoruz. Sanıyorum ki toplum olarak komple dehalardı. Kendileri, 60lık sayı sistemini kullanıyorlardı, yani örneğin 1/15 in karesi 1/30 oluyordu. Ne kadar harika bir sistem kurduklarını, şu an farkında olsak da olmasak da hala kullandığımız gerçeğinden çıkartabiliriz sanıyorum, (bkz. Dakika, saniye, daire açıları vs.) zira sistemin detaylarına girersek çıkamayacağımız kanaatindeyim, ki ben yanına yaklaşamadım daha ( – :

 

Mevzuyu “sıfır” ile sayfalarca uzatmak çok mümkün olsa da, sıkıcı bir tarih yazısı olsun istemediğimden, o tarafa girmeden durumu biraz daha ilginçleştirmek niyetindeyim.

 

Bildiğiniz (ya da öğreneceğiniz) üzre, lambda calculus’de herşey fonksiyonlarla ifade edilir. Grameri** 3 satır olmasına karşın, tarihin gördüğü en “high-level” programlama dilidir. Hemen klasik sorulara geçelim:

 

“E hacı bizim Java’da array var, class var, object var, efendime söyleyeyim ArrayIndexOutOfBounds (:D) var; nasıl ola bu iş?”

 

“for ya da while döngüsü gibi şeyleri nasıl yapacağız?”

(ki bu sorunun cevabı koskocaman bir yazıda anlatılacak kadar geniş – bkz. Y,Z,U combinators)

 

Ya da;

 

“E hacı tamam mesela Scheme’de de fonksiyonel bir yapı var ama orada da list var örneğin, ne bileyim struct var; sadece fonksiyonlarla olacak iş mi bu?”

 

Daha enteresanlaştıralım;

 

“Yahu if nasil diyeceğiz?”

 

Daha da enteresanlaştıralım;

 

“Bir dakika, bir dakika; operasyonlar değer kümeleri üzerinde tanımlıdır, biz değerleri, ya da sayıları nasıl göstereceğiz?”

 

İşte tam bu noktada “sayı” denilen şeyin ne olduğunu araştırıyor insan, ki onu başka bir şey ile modelleyebilsin. Aslında bu kadar büyütülecek bir modelleme yok altında ama birileri bunun üzerine düşünüp bulduğu için bize şu an o kadar da zor gelmiyor bence, ki bu sayıların operasyonlarına bakıp da çamura saplandığımızda anlıyoruz kafa yormak gerektiğini.

 

Sayıları basitçe modelleyebilmek için ihtiyacımız olan iki şey var: sıfır ve “successor” (Türkçesi ‘varis’ imiş, bulmak lazım bizim alanımız ile ilgili olarak güzel bir isim buna, o vakte kadar izninizle ingilizcesini kullanacağım). Bu ikisinin tanımlı olduğunu varsayarak başlıyoruz işe. Genel fikir de şöyle; her sayı, aldığı bir fonksiyonu, yine aldığı bir değere (ki bu da bir fonksiyon olacak) bizim bildiğimiz manadaki değeri kadar uygulayan bir fonksiyon olacak. Yani 2 örneğin, aldığı bir fonksiyonu, aldığı bir değere iki kere uygulayan bir fonksiyon olacak. E durum böyle olunca sıfır zaten kendiliğinden çıkıyor. Her sayı gibi bir fonksion ve bir değer alıyor, bu değere hiçbir şey yapmadan geri veriyor.

 

(lambda f (lambda x x))

 

Peki devam edelim bakalım, bu durumda 1 de şöyle bir şey olmak durumunda;

 

(lambda f (lambda x (f x)))

 

————————————————————————

Ek bilgi:

Bazılarınız bunun eta reducable olduğunu görüp indirgediğinde, nur topu gibi bir “identity function” ı olacak. Zira;

 

(lambda x (f x)) ->eta f

————————————————————————

 

Hmm.. Peki 2 ?

 

(lambda f (lambda x (f (f x))))

 

“E harikaymış!” dediğiniz duyar gibiyim ( – :

Gelelim successor fonksiyonumuza. Bu fonksiyonumuz, bir adet “church numeral” alıp, bir adet “church numeral” üretecek, öyle ki ürettiği sayı, alacağı bir fonksiyonu, alacağı bir değere; successor fonksiyonuna giren sayıdan 1 kere fazla uygulayacak. (Temelde hepimizin bildiği “add1” fonksiyonu aslında)

 

Peki nasıl yapacak bu işi? Birincisi zaten, alınan değere, alınan fonksiyonu kendisi kadar uygulayacak bir sayıyı girdi olarak almış olacak. E ben giren değeri öncelikle yine girdiden aldığım sayıya verir, sonra da yine girdide elimde olan fonksiyonu kendim bir kere daha uygularsam, bu iş olur! Buyrun;

 

(lambda n (lambda f (lambda x (f ((n f) x)))))

 

ya da daha güzel bir çözüm olarak; ilk ben uygulayayım, sonra sayı uygulasın;

 

(lambda n (lambda f (lambda x ((n f) (f x)))))

 

Açıklayayım panik yapmayın. İlk alınan o “n” değeri, bir sonrasını görmek istediğimiz sayı, örneğin (add1 3) deki “3”. Successor fonksiyonu, bu “n” i alıp, yine bir sayı üretiyor. Dikkat edin, “n” den sonraki kısımlar, yukarıda tanımladığımız sayılara ne kadar benziyor değil mi?

 

Peki şimdi deneyelim (ki sizin bunu elle kağıt üzerinde yapmanız gerekecek). Ben şunları biliyorum:

 

1 – (lambda f (lambda x (f x)))

2 – (lambda f (lambda x (f (f x))))

successor – (lambda n (lambda f (lambda x ((n f) (f x)))))

 

demek ki ben successor fonksiyona 1 girersem, 2 almalıyım. Şu ifadeyi elle bir çözün, çıktığını göreceksiniz:

 

((lambda n (lambda f (lambda x ((n f) (f x))))) (lambda f (lambda x (f x))))

 

 

————————————————————————

Güzel bir egzersiz:

 

Sayıları ilk başta fonksiyon, sonra değer alacak şekilde değil de, tam tersi şekilde ifade etseydik neler değişirdi? Yani;

1 -> (lambda f (lambda x (f x)))

olmasaydı da,

1 -> (lambda x (lambda f (f x)))

olsaydı ne olurdu?

————————————————————————

 

 

Chuch’ün (göründüğü üzre) Peano aksiyomlarını kullanarak hayata geçirdiği bu sistem gibi yapılan birkaç sistem de var çok benzer. Örneğin benim karşılaştığım “Typographical Number Theory”, Hofstadter’in, Gödel’in “Incompleteness Theorem” ini açıklamakta kullandığı, doğal sayılara getirdiği bir model. O da bizim yukarda yaptığımız gibi sıfır (0) ve successor fonksiyonu kullanarak (S) sayıları şöyle tanımlamış:

 

sıfır 0

bir S0

iki SS0

üç SSS0

…

 

Evet… Bu yazıda sayıları farklı bir şekilde nasıl modelleyebileceğimize ve bu modeli kullanarak yukarı doğru saymayı inceledik. Acaba “predecessor”, yani normal sayılar üzerinde scheme’de tanımlı olan “sub1” nasıl modellenir? Bunu biraz düşünün isterseniz, zira çok keyifli ve zor bir soru. Chris bunun hakkında “bazılarınız şak diye bulurken, bazılarınız bunun üzerine bir hayat harcayıp bulamayabilir” demişti ( – :

 

Önümüzdeki sayıda öncelikle şu predecessor işlemine bakacağız.. Ardından biraz aritmetik operasyonlarla ilgilenip, sonrasında “if” nasıl yazarız ona bakacağız.. Sonraki sayılarda işleri çok daha ilginçleştireceğiz..

 

İyi “son iki haftalar”, görüşmek üzere..

 

Caner Derici

 

 

 

* Güzel Türkçe karşılıklarını bulacağımız zamana kadar ingilizcesini kullanacağım.

 

** L -> id | (lambda id L) | (L L)

 

 

 

Özür…

Yazarımız bayram dönüşü trafiğine takıldığı için bu sayımızda yazısı yayınlanmayacaktır.

Bilginize.

BAHAR BEYAZNAR

“The Restaurant at the End of The Universe!”

Selamlar herkese,

“Ohh vizeler de geçti, rahatladık vallahi” diyemeyeceğim, zira projelerden başka bir şey yapabileniniz varsa bizlere de anlatırsa harika olur. Bu sayıda daha ilginç bir fikirden bahsetmek istiyorum sizlere.

Geçenlerde bir sabah, “acaba dünya, sayısal bilimin son noktasına gelse, nasıl bir şey olurdu yaşam, neler değişirdi?” diye bir soru geldi aklıma..

Düşünelim bakalım..

Uzaylı diye bir şeyin olmadığı kanıtlanmış, tek başımızaymışız bir defa.. Kiminle konuşsam ilk bu fikirle geliyor, unutun şunu tadını kaçırmayın meselenin..

Ayrıca bahsedilen bilimler sayısal bilimlerdir, gelip de “ee felsefe var abi” demeyiniz..

Durum şudur:

Soruda da belirttiğim gibi, bütün dallarda müsbet ilmin son noktasına gelinmiş durumda. Bilgisayar Bilimleri, Matematik, Fizik, Kimya, Biyoloji vs. Hepsi son noktalarına ulaşmış haldeler. Doğaya ait bilinmeyen hiçbir şey kalmamış, evrenin bütün gezegenleri cm’sine kadar biliniyor, her şey apaçık ortada. Herhangi bir insanın hayal edebileceği her şey, teknolojik olarak zaten yapılabilir durumda. (Ciddi) konferanslara gönderilen makaleler özgünlükten yoksun oldukları için kabul edilmiyorlar, dolayısıyla bilime yapılan ve yapılabilecek hiçbir katkı yok ortada.

Işınlanmayı falan geçtim, manzara bozuluyor diye gezegen yeri değiştirenler var. Aklınıza gelebilecek her türlü şey..

Siyaset, felsefe gibi konular devam ettiği -ve edeceği- için, hala devlet gibi kurumlar var, boyutları ya da şekilleri farklı olabilir, fakat hala varlıklarını sürdürmekteler.

Durumun kendisi üzerine çok fazla konuşmaktansa, detayları sizlerin hayal gücüne bırakıyorum.. Muhakkak birileri bir açık bulacaktır zaten çok zor kontrol etmek bu kadar büyük bir fikri ( – :

Şimdi birkaç soru soracağım, okuduktan sonra cevaplamaya çalışın, eğleneceğinizi umuyorum:

Üniversitelerin akıbeti ne olurdu?

Gazete okur muydunuz?

Hangi mesleği seçerdiniz?

Müziğin o zamanki durumu ne olurdu?

Bu soruları, yazıyı okuduktan sonra yanınızdaki birileriyle tartışmayı deneyin, sadece sorun, bakalım ne cevap verecekler? ( – :

Divan-ı Hümayun

Bir adamı bu kadar pohpohlarsanız olacağı budur dedim, dinletemedim. Okuldan akın akın insanlar geldiler, “kim bu ercan yahu?” dediler, bazılarına “benim dergideki kod ismim o ercan, ben yazıyorum aslında o yazıları”, bazılarına da -baya baya utanmadan- direkt “benim kendisi, buyrun” dedim, inanmadılar. O kadar yakından ve hayranlıkla takip ediyorlardı ki kendisini, beni görünce “bundan öyle
güzel yazılar çıkmaz, sıkıyordur bu” dediler herhalde. Eh, haklılardı tabi bir yerde, sıkıyordum harbiden ( – : Ama çoğunluğu beni ercan sanıyorlardı, gelen geçen selam veriyor, elimi sıkıyor durduk yere. En sonunda ben de sıkıldım tabi bu kadar ilgiden. İnsan çekemiyor arkadaş! O kadar hayran kitlesi falan… Biraz sineye çekildim, çok pas vermemeye başladım ortalığa. Tabi hemen “ünlü artistliği” dediler, “amanda bunun da kalktı bir yerleri” dediler. Bilirsiniz bizim milleti, hemencecik ters yüz ediverirler adamı.

Bazılarınız “e biz hiç görmedik o hayranları?” diyor biliyorum, demeyin siz, dinleyin. ( – :

Şimdilerde kimse selam vermiyor, bir tek tanıdıklar işte… Bütün ünüm elimden alındı. Kenarda bir şeyler okuyan, kahve falan içen ercan oldum.

Geçenlerde topladım divan-ı hümayunu, dedim ki ahali bu işe bir çare… Dedik ki kapsamlı bir plan hazırlayıp oyun edelim, atalım şu ercanı dergiden, sonra da diyelim ki “bütün herşeyin sorumlusu ercandır, o caneri zorladı herşeye, aslında kamuoyunu yanıltan ercanın kirli oyunlarıdır”. Konuştuk, anlaştık, planlarımızı hazırladık. Tam uygulamaya koyacağımız sırada ercan olur olmaz gitmeye kalktı. İlk başta işkillendim. Acaba bizim planları mı öğrendi, nedir? Sonradan anlaşıldı ki hakikaten canı sıkılmış olmadık bir şeye, gitmek istemiş. Yok olan kimliğimi geri kazanıp herşeyi ercanın üzerine yıkacağım için başımla beraber, canıma minnet dedim tabi ben. Fakat bütün bunların üzerine bizimkiler “biz ercanın gitmesini istemiyoruz yahu” deyip caymasınlar mı! Memleketime dönüp, son kez İzmir’imin havasını içime çekip kendimi kordondan atasım geldi denize. Dedim ki “ahali, yapmayın etmeyin, bir adamı bu kadar pohpohlarsanız, sonumuz dergide onun adına sayı çıkartmak olacak”. “Yok” dediler, “biz hakikaten gitmesini istemiyoruz”. Ben de “Eh, yapacak bir şey yok o halde” deyip, tam kamuoyuna “Herşey benim suçumdur ahali, bakın ben ne eşşeklikler ettim, aslında ercan bakın bu sizin hayal ettiğiniz yakışıklı çocuk” şeklinde bir açıklama yapacaktım ki gelip demesinler mi “Ercan için sayı çıkartıyoruz” diye!

Şimdi ben ne yapayım ahali, nedir bu işin çıkar yolu? ( – :

Caner Derici

“Bugün Beni Kim Çıkartıyor?”

Merhabalar herkese,

Bilgisayar bilimleri ile hayvanların kesiştiği yüzlerce nokta olmasına rağmen bugün sizlerle günlük hayattan bahsetmek istedim. Ciddi hazırlanmış, böyle anlamlı bir yazı beklemeyiniz, bulamayacaksınız..

Bilmeyenler için söyleyeyim, konu başlığındaki soruyu soran varlık, evimizde bizimle birlikte ikamet eden, seneler içerisinde artık bizden biri olan, ismi Arch olan erkek bir köpektir. Bu “biz” den kastım da; ablam Özlem, ağabeyim Rüştü, Olcay ve onun kardeşi Deniz. Evet, 4+1 evde 5+1(arch) kişi kalıyoruz.

Arch günde iki kere dışarı gezmeye çıkartılıyor, sabah ve akşam. Gayet üşendirici aslında, özellikle benim periyotlarıma sahipseniz; Pazartesi, Salı ve Çarşamba günleri sabahları… Tasma, buzdolabı poşeti, dönüşte arch’ın temizliği, mama kutusu ve su kontrolü şeklinde bir yapısı oluyor genelde bu periyotların..

Evdeki popülasyonu ve olası “işim çıktı” varyasyonlarını düşünecek olursanız, Arch, kafasındaki muhtemel “bugün beni dışarı kim çıkartıyor acaba?” sorusunun cevabı için bütün gün gözlem ve ampirik deneyler yapıyor olmalı. Çünkü sürekli dinamik bir ortam var, birinin işi çıkıyor ya da hasta falan oluyor, ondan sonra başka birinden rica ediyor, onun günü geldiğinde de ödemek üzre önceden hasta olan ya da işi çıkan kişi çıkartıyor. Anlayacağınız, ortalık bazen cidden karışıyor, “en çakal olan kazanır” halini alıyor. Yakınlarda, kapının hemen yanına beyaz tahta ile program asma projesi gündeme geldi, önümüzdeki günlerde bakacağız neler olacak.

Fakat inanmazsınız, Arch’ın ne bu tahtaya ihtiyacı var, ne de başka bir şeye.. Nasıl oluyor biz de çok anlayabilmiş değiliz ama sevgili köpek sabah ve akşamları, kendisini gezdirecek kişinin yanında dolanıyor, onunla takılıyor, dibinden ayrılmıyor. Acaba kendisinin o kişiyi ikna edip de kendini çıkarttırdığını mı düşünüyor, bilemiyorum..

Geçenlerde bütün bunlardan dolayı aklıma şöyle bir soru geldi: “Arch saymayı biliyor mu acaba?”
Sonra sırasıyla şu sorular onu takip ettiler:
Neden saysın ki? Kaldı ki neyi sayacak, kuru mama tanelerini mi?

Biz neden sayıyoruz? (ticaret vs.yi unut)
Zaman hesabı için örneğin, zamanımızı daha verimli kullanabilmek için.. Acaba Arch’ın da zamanını verimli kullanmak gibi bir çabası var mıdır?

Düşünsenize, Arch günlük programını düşünüyor:

“Sabah Caner’i gezdireceğim, sonra şu bir iki terlik vardı girişte ne zamandır gözüme çarpıyolar onlarla bir haşır neşir olayım.. Öğlene gelmeden yan komşunun köpeği çıkar dışarı onu izleyeyim, sonra öğlen kimse olmaz zaten evde, sabah bir iki kişi kahvaltı yaptıydı mutfağa uğramak lazım, onun rehavetiyle bir uyurum. Öğleden sonra Özlem’in yatağının eşilmesi var.. Benim plastik tavuk butum nerde yahu? Gerçek et olduğunu düşündüğümü sanıyor salaklar, ortalıklarda olsun da oynadığımı sansınlar.. Sonra şöyle banyo mermerinde serin serin bir kestiririm.. Biri gelirse onunla takılırım, gelmezse B planı ne olacak? Mutfak çöpü?? Yok yok onu dün yaptım… Koltuk örtüleri?? Hmmph çok klasik… Aha!! Pencerenin önünde bir sepet olacaktı, onun iplerini kopartıp onlarla oynayayım.. evet evet bu güzel oldu..”
Bir de dipnot var:
“akşam Rüştü’yü gezdirmeyi unutma, uyuyamıyor adam sabaha kadar bilgisayar başında.. Ne anlıyor o makinadan onu da bilmiyorum ki..”

Enteresan olurdu gerçekten..
En son aklıma gelen soru şu oldu: “Bir hayvana saymayı nasıl öğretebiliriz?” ya da “Biz nasıl öğrendik, hatırlayanınız var mı?”

Arch ve bizlerden sevgilerle

Matematikçiler Geyik Yaparsa :)

Merhabalar,

Bu sayıda da tekrar birlikteyiz sevgili gönül dostları.. : ) gördüğünüz gibi neşem yerinde, yapılacak bir sürü iş olmasına rağmen “dur bi Kafein’e yazayım da keyifleneyim” dedim. Geçenlerde karşılaştığım değişik bir paradokstan bahsedeceğim size, biraz gereksiz, biraz komik, biraz da aslında matematikçilerin nasıl düşündüklerini anlatan bir paradoks bu. Tabi benim anlayışım ve daha da önemlisi benim anlatımımla sınırlı olduğunuz için, bana güvenmeyip kendi başınıza daha detaylısını okumanızı tavsiye ederim. : )

Karşınızda “Interesting Number Paradox” (Enteresan Nicelik Çelişkisi diye çevirsek nasıl olur diye düşünmedim değil. : ) )

Şimdi bu paradoks ne diyor onu bir söyleyelim.. Basitçe diyor ki; “bütün doğal sayılar enteresandır”. Bana “bütün erkekler öküzdür” den daha mantıklı gelmediğini belirteyim öncelikle, zira zaten paradoksun kendisi, sayıları ilginç ya da hiç çekici olmayan şeklinde sınıflandırma sonucunda çıkıyor, belli ki canları sıkılmış biraz. : )

Fakat utanmayıp haydi bir de kanıtlayalım bunu demişler, buyrun bu da kanıtı:

İddiamız şudur ki “ilginç olmayan doğal sayı diye bir şey yoktur.”

Kanıtı da bir çelişki (contradiction) ile yapacağımızı belirterek devam edelim. Bir adet boş olmayan doğal sayılar kümesi alırsak elimize, doğal sayıların “well-ordered” (‘doğru düzgünlük’ – süper çeviri oldu) özelliğinden dolayı, o kümenin içinde illaki bir tane en küçük olan sayı olacaktır, dolayısıyla bu en küçük olma durumu o sayıyı ilginç kılacağı için, durum fenalaşacaktır. : )

Hayır yani “işiniz gücünüz yok mu be kardeşim?” durumunu geçtim, neden gidip adam gibi tanımlayamadığınız bir şeyi (ilginçlik durumu) kullanarak sınıflandırmaya çalışırsınız? Onu da geçtim, bu sınıflandırma ne işe yarayacak, zaten doğal-reel vs. şeklinde sınıflandırdınız, daha da ayrımcılığa ne gerek var diyor insan. : ) Üstelik bu paradoksun doğal sayılar dışındaki (örneğin reel) sayılarda çalışmayacağının aşikar olması da bambaşka bir geyik..

Bütün bu nedenleri kendileri de düşünmüş olacaklar ki buna “semi-humorous” (yarı geyik) bir paradoks demişler.. Tabi insan sürekli “Number Theory” ya da ne bileyim “Graph Theory” ile uğraşınca biraz da eğlenesi geliyor olmalı. : )

Neyse, hayatlarını bilime adamış bu tür insanlara “geek” diyerek çağımızın klişe mallığını yapmadan şakayı bir kenara bırakıp biraz daha yararlı bir hikaye ile yazımı bitireyim o halde..

Hikaye G. Harold Hardy ‘nin, hintli bir matematikçi olan Srinivasa Ramanujan ‘a yaptığı bir hastane ziyaretini anlatıyor. Hardy şöyle demiş:

“Putney’ de hasta iken onu görmeye gittiğimi hatırlıyorum. 1729 numaralı bir taksiyle gitmiştim ve bu sayının biraz salakça olduğunu farkettim, hatta kötü bir şeyin alameti olmadığını ummuştum. O ‘Hayır’ dedi, ‘o aslında gayet ilginç bir sayı; iki sayının küplerinin toplamı olarak iki farklı şekilde yazılabilecek en küçük sayıdır o’.

Orjinali de budur:

“I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavorable omen. “No,” he replied, “it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.””

Bu vakitten sonra 1729, Hardy-Ramanujan Sayısı olarak anılmış, ve ‘acaba bu özellikte olan başka sayılar var mı?’ şeklindeki soru ile böyle sayıları arayacak algoritmalar geliştirilmiş.

Hatta 1729′un değişik özellikleri de bulunmuş, örneğin;

• 1729, rakamlarının toplamına bölünebiliyor, bu özelliğiyle de bir “Harshad Number” olmaya hak kazanıyor, ki bu özelliği octal (8lik) ve hexadecimal (16lık) sistemlerinde de mevcut, fakat binary (2lik) sistemde değil.. Şöyle ki;
  (1729 = 3301(8), 3 + 3 + 0 + 1 = 7)
  (1729 = 6C1(16), 6 + C + 1 = 19(10))

• Bir garip özelliği de, transcental(Türkçesini bilmiyorum) sayı olan e ‘nin 1729. basamağından sonraki 10 basamak şudur: 0719425863. Bu da e sayısının içindeki on rakamın da yanyana bulunduğu ilk yerdir. Etkileyici. : )

• 1729 aynı zamanda bir Zeisel Number, yani bir “Centered Cube Number”, daha açık bir ifade ile, kendisi n3 + (n + 1)3 şeklinde ifade edilebiliyor, dolayısıyla bir küp temsil ediyor.

Bu özellikler bayağı gidiyor böyle, daha devamı için aşağıda verdiğim referanslara bakabilirsiniz; enteresan gerçekten.. Şimdi sizlere tavsiyem, gidin birazcık okuyun bu sayının ne olduğunu daha detaylı bir şekilde, sonra hangi dilde olursa olsun, 1729′dan sonraki Ramanujan sayısını bulacak bir algoritma geliştirip, yazın, bulun o sayıyı.. Sonra bunun için yazılmış algoritmalarla kendinizinkini karşılaştırın, eğleneceksiniz. : )

Görüşmek üzere, sevgiler, saygılar..
Caner Derici

- Interesting Number Paradox -
- 1729 -
- Ramanujan Numbers -