Cantor ve Reel Sayılar Üzerine
Merhabalar,
Geçtiğimiz sayıda sayıları kategorize ettik, transcendental sayılardan bahsettik, son olarak da sonsuz elemanlı kümelerin eleman sayılarının karşılaştırılmasına baktık, “yahu bu daha mı bir sonsuz sanki?” sorusunu irdeledik. Önceki sayıya “çok uzun ve yorucu olmuş” yorumundan sonra, bu sayıda biraz daha hafif bir şey yapıp sadece geçen yazıda “üşenmezsem buraya eklerim” deyip, (well..) üşendiğim ve eklemediğim reel sayılarla ilgili olan kanıtı anlatıp bitireceğim. Asıl bu sayıda girmek istediğim konuların bir kısmına diğer sayıda gireceğim.
Geçtiğimiz sayıda pozitif tam sayılar kümesinin eleman sayısının (cardinality), bütün tam sayılar kümesinin eleman sayısına eşit olduğunu kanıtlamıştık. Şimdi de sizinle reel sayılarla ilgili olan şu ünlü kanıtı yapalım. Sevgili Cantor, zamanında (1891) bu kanıtı yaptığında ortalığı epey bir sallamış. Aslında ben de bu kanıtı ilk gördüğümde aynı, Church Numeral’ları üzerinde ’subtraction’ (çıkartma) fonksiyonunu tanımlayabilmemize olanak sağlayan Kleene’in ‘Predecessor’ fonksiyonunu (sf 14) gördüğüm zamanki hissiyatı yaşadım. Bu kanıtın genel geçer ismi “Cantor’s diagonal argument” dir ama başka yerlerle başka başka isimler de almış (i.e. diagonal process) olmasına rağmen nerede görseniz tanırsınız, zira içinde illaki bir adet ‘diagonal’ geçer. Tabi gidip bunu utanmadan ikinci derece polinomların (aslında quadratic formların demek daha doğru) Gauss eliminasyonu ile diagonalleştirmesi (diagonalization of quadratic forms by Gauss elimination) ile karıştırırsanız, you gonna have your ass whopped my friend ( – :
Neyse biz konumuza girişelim, iddiamız şöyle; reel sayılar kümesinin eleman sayısı (cardinality’si yani) sayılamaz sonsuzluktur (non-enumerable infinity ya da uncountably infinite ya da çok acaip sonsuzluk). Bunu göstermek için önceki sayıda yaptığımız şeyin tam tersini göstermemiz yeterli olacak. Hatırlayın, bir kümenin sayılabilir olmasını, onun elemanlarını doğal sayılarla ilişkilendirebilmemiz ile; yani iki küme (bizim küme ve doğal sayılar) arasında bire-bir ve örten bir fonksiyon kurabilmemiz ile tanımlamıştık. (Tabi çok açıktır heralde ama yine de belirtmekte fayda var ki burda fonksiyonumuzun domain’i -Türkçesi ne bunun terim olarak? Alan değildir heralde- doğal sayılar, range’i -haydi buyur- bizim kümemiz olacak)
Geçen sayıdaki reel sayılar tanımımı hatırlayın:
hede,hedeuedhed şeklinde yazdığınız her sayı reel sayıdır.
0.1231241241231551…
0.100010011101011001…
Harika, o zaman şimdi gelin düşünelim: Ben proof by contradiction (reductio ad absurdum – çelişki ile kanıtlama) yöntemiyle mi ilerlesem? Örneğin desem ki reel sayılar sayılabilir bir sonsuzluktadır, dolayısıyla ben doğal sayılarla bu kümeyi eşleştirebilirim, eğer ki değilse bir yerlerde bir çelişki elde ederim zaten. Mantıklı duruyor, hadi bakalım deneyelim neymiş görelim:
Kolaylık olsun, binary (ikilik) sistemde çalışalım. Önce bir reel saayılarımızı masaya yatıralım. Eğer ki reel sayıları sayılabilir sonsuz kabul edersek, böylece bütün reel sayıların olduğu kümeyi sıralayabilirim değil mi? Buyrun bütün reel sayıların olduğu küme size:
0.100101…
0.001110…
0.010100…
0.101100…
0.010111…
0.110010…
…
Şimdi, elimizde bütün reel sayılar var, gelin bir tane de biz yazalım bakalım bu kümenin içinde çıkacak mı?
0.100101…
0.001110…
0.010100…
0.101100…
0.010111…
0.110010…
…
Şu işaretlediğim sayıları seçelim, gördüğünüz gibi n’inci satırın n’inci rakamını işaretledim.. (baştaki 0. lara takılmayın, biz sonsuz kısımla yani virgülün sağ tarafıyla ilgileniyoruz)
0.100110…
Şimdi bütün rakamları flip edelim (0′ları 1, 1′leri de 0 yapalım).
0.011001…
Sayımızı oluşturduk bile..
Bu sayı kesinlikle bir reel sayı, e öyleyse bizim kümemizin içerisinde olması gerekiyor değil mi? Çünkü en başta bütün reel sayıların olduğu kümeyi sıralamıştık zaten. Fakat siz de bir sıkıntı seziyor musunuz bu noktada? Bu reel sayı bizim “bütün reel sayılar” kümemizde olamaz! Bakalım neden (incoming!):
Kümedeki birinci sayı bizim sayımız olabilir mi? Hayır. Neden? Çünkü benim sayımın birinci rakamının, kümedeki birinci sayının birinci rakamıyla aynı olmayacağını biliyorum.
İkinci sayı? O da olamaz. Neden? Çünkü benim sayımın ikinci rakamının, kümedeki ikinci sayının ikinci rakamıyla aynı olmayacağını biliyorum.
Üç? Yok, çünkü benim sayımın üçüncü rakamının, kümedeki üçüncü sayının üçüncü rakamıyla aynı olmayacağını biliyorum.
E bir dakika, o zaman n’inci sayıda da olamaz! Neden? Çünkü n’inci sayının n’inci rakamının benim sayımın n’inci rakamıyla aynı olmayacağını biliyorum.
Kümedeki her sayı için, benim sayım olmadığını kanıtlayabilecek bir neden bulabiliyorum, bu nedenle;
bu sayı bu kümede olamaz! Dolayısıyla varsayımlarımdan (assumptions) birinde hata var deyip zaten bir tane olan varsayımıma bakıyorum ne diyor? reel sayılar sayılabilir bir sonsuzluktadır. “Demek ki değilmiş hacı” deyip kantımızı sonlandırıyoruz.
Şahane düşünmüş değil mi sizce de Cantor? Hakikaten efsane bir kanıt bence, nedeni çok karmaşık ya da böyle hiç akla gelmeyecek bir şeyi gördüğü için değil. Kanıtların karakteristiğini de gösteren bir yapısı var. Kesin şimdi siz “ulan nereden nasıl gelecek aklımıza o rakamları seçmek” diyorsunuzdur. Ters mantıkta bir ilerleyelim mi bakalım ne çıkacak (harbiden doğaçlama yazıyorum şu an ( – : )
Reel sayıların sayılamaz sonsuzlukta olduğunu kanıtlamak lazım. Bunun için önce sayılabilir olduğunu kabul eder kümeyi sıralarız, eğer o kümede olmayacağını bildiğim bir sayı bulabilirsem “ahanda böyle tam sayılar gibi sıralayamazsın reel sayıları” diyebilirim. (Bu tam da “Lambda Calculus’u recognize* edecek bir FSA tanımlanamaz” ın kanıtına, aa hatta Pumping Lemma’nın da kanıtına benziyor) Tamam şimdi kümeyi sıraladık. Sayıyı nereden bulacağız? Ne olacak bu sayının özelliği? Bu elimde olan kümede olmayacak ama bir reel sayı olacak. Yani aslında bu sayının kendisi, bu kümedeki herhangi bir eleman ile aynı olmadığına dair bir kanıt içermek zorunda (<– İşte işi bitiren nokta burası tam olarak, yani nedeni sayının ta kendisinin taşıyacak olma zorunluluğu). Bundan sonra ikinci tümsek de “ee kanıt ne olacak peki?” sorusu. Onu da “(what if) benim sayım, bu kümedeki sayıların her birinden alınmış ufak parçalardan oluşursa, bir şekilde o parçayı bu kanıt haline getirebilir miyim?” sorusu ile çözersiniz.
Dikkat edin, matematiksel bir argüman kullanmadım kanıtın kendi içinde,ama olayın kendisi matematik. Dolayısıyla sizin de gördüğünüz üzere matematik aritmetik işlemlerden ve sayılardan çok mantık ve düşünceler bütünüdür. Geri kalanı araç ve gereçten ibaret.
Evet, yazının başında dediğim gibi yazımın uzunluğu ve ağırlığı üzerinde kötü eleştiriler geldiği için, bu yazıda biraz dikkat etmek istedim, o yüzden şimdilik burada bitiriyorum.
Kendinize iyi bakınız efendim, hoşçakalınız.
Caner
Önümüzdeki sayıda:
Yukarıda anlattığım kanıtın aşağıdakilerle olan ilişkisini okuyacaksınız.
Halting Problem*
Gödel’s Incompleteness Theory*
* böyle önemli şeyleri bilgisayar bilimleri profesörü olmadan önce Türkçeleştirmeyi reddediyorum (by the suggestion of Elena Battini Sönmez, November 2008)


